Лаб. работа “Обращение матриц в C#”

Расширенный алгоритм Гаусса-Жордана для нахождения обратной матрицы

Пусть дано:

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \quad a_{11} \ne 0 \quad I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)

Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

• Разделим первую строку матрицы А на \(a_{11}\) получим: \(a_{1j}^1 = \frac{a_{1j} }{a_{11} }\), j — столбец матрицы А.
• Повторяем действия для матрицы I, по формуле: \(b_{1s}^1 = \frac{b_{1s} }{a_{11} }\), s — столбец матрицы I

Получим:

\(A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)

• Будем образовывать 0 в первом столбце : \(a_{2j}^1=a_{2j}-a_{1j}^1 a_{21} \ , \dots , \ a_{nj}^1=a_{nj}-a_{1j}^1 a_{n1}\)
• Повторяем действия для матрицы І, по формулам : \(b_{2s}^1=b_{2s}-b_{1s}^1 a_{21} \ , \dots , \ b_{ns}^1=b_{ns}-b_{1s}^1 a_{n1}\)

Получим:

\(A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ 0 & a_{22}^1 & \cdots & a_{2n}^1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2}^1 & \cdots & a_{nn}^1 \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21}^1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}^1 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)

• продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы : \(a_{ij}^k=\frac{a_{ij}^k}{a_{ii} } \qquad a_{ij}^k=a_{ij}^{k-1}-a_{kj}^k a_{ik}^{k-1}\),

при условии, что \(k = 1 \rightarrow n,i = k + 1 \rightarrow n,j = 1 \rightarrow n\)

• Повторяем действия для матрицы І, по формулам : \(b_{ik}^k=\frac{b_{ik}^k}{a_{ii} } \qquad b_{is}^k=b_{is}^{k-1}-b_{ks}^k a_{ik}^{k-1}\)

при условии, что \(k=1 \to n,\; i=k+1 \to n,\; s=1 \to n\) получим:

\(A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ 0 & 1 & \cdots & a_{2n}^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21}^2 & b_{22}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}^n & b_{n2}^n & \cdots & b_{nn}^n \end{pmatrix}\)

Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)

Используем формулу: \(a_{ij}^{k-1}=a_{ij}^{k-1}-a_{ij}^k a_{ik}^i\), при условии, что \(k=n \to 1,\; i=1 \to k-1,\; j=1 \to n\)

Повторяем действия для матрицы І, по формуле : \(b_{is}^{k-1}=b_{is}^{k-1}-b_{is}^k a_{ik}^i\), при условии, что \(k=n \to 1,\; i=1 \to k-1,\; s=1 \to n\)

Окончательно получаем :

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad I=A^{-1}\)

Код на C#, реализующий алгоритм Гаусса-Жордана

using System;

class Program
{
    static void Main()
    {
        double[,] matrix = new double[,]
        {
            {2, -1, 0},
            {-1, 2, -1},
            {0, -1, 2}
        };

        double[,] inverseMatrix = InverseMatrix(matrix);

        PrintMatrix(inverseMatrix);
    }

    static double[,] InverseMatrix(double[,] matrix)
    {
        int size = matrix.GetLength(0);
        double[,] augmentedMatrix = new double[size, 2 * size];

        // Create augmented matrix
        for (int i = 0; i < size; i++)
        {
            for (int j = 0; j < size; j++)
            {
                augmentedMatrix[i, j] = matrix[i, j];
                augmentedMatrix[i, j + size] = i == j ? 1 : 0;
            }
        }

        // Gauss-Jordan elimination
        for (int i = 0; i < size; i++)
        {
            double pivot = augmentedMatrix[i, i];
            for (int j = 0; j < 2 * size; j++)
            {
                augmentedMatrix[i, j] /= pivot;
            }

            for (int j = 0; j < size; j++)
            {
                if (j == i) continue;
                double factor = augmentedMatrix[j, i];
                for (int k = 0; k < 2 * size; k++)
                {
                    augmentedMatrix[j, k] -= factor * augmentedMatrix[i, k];
                }
            }
        }

        // Extract inverse matrix
        double[,] inverseMatrix = new double[size, size];
        for (int i = 0; i < size; i++)
        {
            for (int j = 0; j < size; j++)
            {
                inverseMatrix[i, j] = augmentedMatrix[i, j + size];
            }
        }

        return inverseMatrix;
    }

    static void PrintMatrix(double[,] matrix)
    {
        for (int i = 0; i < matrix.GetLength(0); i++)
        {
            for (int j = 0; j < matrix.GetLength(1); j++)
            {
                Console.Write(matrix[i, j] + " ");
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }
}

Задание:

1. Изучить метод Гаусса-Жордана

2. Написать приложение на языке C# для нахождения обратной матрицы для матрицы, заданной пользователем.

3. Добавить в приложение проверку на правильность нахождения обратной матрицы. \(A^{-1}\cdot A = E\), где \(E\) – единичная матрица.