Кафедра ИСиТ УО ВГТУ
  • Специальности
    • Экономика электронного бизнеса
    • Информационные системы
    • Information Control Systems
  • Каталог
  • Сайт кафедры
  • Сервисы
    • GitLab
    • ownCloud
    • JupyterHub
    • JupyterHub 2
    • VNC
    • Soft
  1. ИСиТ
  2. КСКР
  3. Практика
  4. Лаб. работа “Обращение матриц в C#”
  • ИСиТ
    • АОС
      • Теория
        • Введение в операционные системы
        • Управление памятью
        • Управление процессами
        • Система ввода-вывода
        • Информационная безопасность
        • Виртуализация
      • Практика
    • РВПсИПП
      • Теория
        • Настройка среды разработки для PHP
        • Разработка web-приложений на базе фреймворков
        • Основы Laravel
        • Шаблоны в Laravel
        • Модели и базы данных в Laravel
        • Формы и валидация в Laravel
        • Аутентификация и авторизация в Laravel
        • Создание REST API в Laravel
        • Работа с файлами и изображениями в Laravel
        • Тестирование и отладка в Laravel
        • Введение в фреймворк Symfony
        • Маршруты и контроллеры в Symfony
        • Шаблоны и Twig в Symfony
        • Формы и валидация в Symfony
        • Доступ к базам данных в Symfony
        • Аутентификация и авторизация в Symfony
        • Сервисы и зависимости в Symfony
        • Создание REST API в Symfony
        • Работа с файлами и медиа в Symfony
        • Сравнение и выбор фреймворка
        • Развертывание веб-приложения
      • Практика
        • Лаб. работа 1 “Создание нового приложения Laravel”
        • Лаб. работа 2 “Добавление главной страницы и базовых маршрутов”
        • Лаб. работа 3 “Создание моделей, миграций и сидеров”
        • Лаб. работа 4 “Создание индексных страниц и пагинация”
        • Лаб. работа 5 “Создание форм для работы с сущностями”
        • Лаб. работа 6 “Работа с файлами (эмуляция S3-хранилища)”
        • Лаб. работа “Создание маршрутов в Laravel”
        • Лаб. работа “Работа с базами данных в Laravel”
        • Лаб. работа “Работа с формами в Laravel”
        • Лаб. работа “Аутентификация и авторизация в Laravel”
        • Лаб. работа “Работа с файлами в Laravel”
        • Лаб. работа “Тестирование и оптимизация в Laravel”
        • Лаб. работа “Создание REST API в Laravel”
        • Лаб. работа “Основы Symfony”
        • Лаб. работа “Шаблоны и представления в Symfony”
        • Лаб. работа “Работа с базами данных в Symfony”
        • Лаб. работа “Фомы и аутентификация в Symfony”
        • Лаб. работа “Сервисы и зависимости в Symfony”
        • Лаб. работа “REST API в Symfony”
        • Лаб. работа “Работа с медиа контентом в Symfony”
        • Лаб. работа “Создание и развертывание проекта”
    • ПСП
      • Теория
        • Введение
        • Протокол HTTP
        • Программирование с использованием сокетов
        • Введение в PHP
        • Работа с базами данных в PHP
        • Объектно-ориентированные возможности PHP
        • Настройка среды разработки для PHP
        • Разработка web-приложений на базе фреймворков
      • Практика
        • Программное обеспечение
        • Регистрация в JupyterHub
        • Лаб. работа “Почтовые протоколы”
        • Лаб. работа “Протокол FTP”
        • Лаб. работа “Протокол HTTP”
        • Лаб. работа “Программирование сетевых приложений с использованием сокетов”
        • Лаб. работа “Основы PHP”
        • Лаб. работа “Массивы в PHP”
        • Лаб. работа “Создание веб-приложений с использованием Slim”
    • Компьютерные сети
      • Теория
        • Введение в компьютерные сети
        • Топологии сетей
        • Кодирование и мультиплексирование
        • Стеки протоколов
        • Адресация в компьютерных сетях
        • Система доменных имен (DNS)
        • Программирование с использованием сокетов
        • Введение в PHP
        • Протокол HTTP
        • Введение в компьютерные сети
      • Практика
        • Программное обеспечение
        • Регистрация в JupyterHub
        • Лаб. работа “Почтовые протоколы”
        • Лаб. работа “Протокол FTP”
        • Лаб. работа “Протокол HTTP”
        • Лаб. работа “Программирование сетевых приложений с использованием сокетов”
        • Лаб. работа “Основы PHP”
        • Лаб работа “Массивы в PHP”
    • РиОИИС
      • Теория
        • Классификация оптимизационных задач
        • Генетические алгоритмы
        • Системы массового обслуживания
        • Теория игр
        • Машинное обучение
        • Глубокое обучение (Deep learning)
        • Основы функционального программирования
        • Основы программирования на Haskell
        • Введение в логическое программирование
        • Инференция и рассуждения в логическом программировании
        • Разработка экспертных систем
        • Интеллектуальные системы и их архитектура
        • Веб-скрэйпинг
        • Сбор данных с открытых API
      • Практика
        • JupyterHub
        • Лаб. работа “Методы одномерной оптимизации”
        • Лаб. работа “Методы многомерной оптимизации”
        • Лаб. работа “Функции в Python”
        • Лаб. работа “Рекурсия в Python”
        • Лаб. работа “Итераторы в Python”
        • Лаб. работа “Генетические алгоритмы”
        • Лаб. работа “Haskell”
        • Лаб. работа “Логическое программирование”
        • Лаб. работа “Сбор данных с помощью веб-скрейпинга”
    • КСКР
      • Практика
        • Лаб. работа “Одномерные и двумерные массивы в C#”
        • Лаб. работа “Обращение матриц в C#”
    • Системное программирование
      • Теория
        • Управление памятью в Windows
        • Файловые операции в Windows
        • Управление процессами в Windows
        • Графический интерфейс Windows
        • ОС Unix
      • Практика
        • Лаб. работа “Работа с динамической памятью в Windows”
        • Лаб. работа “Операции с файлами в Windows”
        • Лаб. работа “Управление процессами в Windows”
        • Лаб. работа “Работа с виртуальной машиной Linux”
        • Лаб. работа “Язык командного энтерпритатора Shell”
        • Лаб. работа “Работа с файлами в Linux”
        • Лаб. работа “Работа с процессами в Linux”

Содержание

  • Расширенный алгоритм Гаусса-Жордана для нахождения обратной матрицы
    • Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)
    • Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)
    • Код на C#, реализующий алгоритм Гаусса-Жордана
  • Задание:
  1. ИСиТ
  2. КСКР
  3. Практика
  4. Лаб. работа “Обращение матриц в C#”

Лаб. работа “Обращение матриц в C#”

Компьютерные системы конечноэлементных расчетов
Практика
Автор

Бизюк Андрей

Дата публикации

19 марта 2024 г.

Расширенный алгоритм Гаусса-Жордана для нахождения обратной матрицы

Пусть дано:

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \quad a_{11} \ne 0 \quad I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)

Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

  • Разделим первую строку матрицы А на \(a_{11}\) получим: \(a_{1j}^1 = \frac{a_{1j} }{a_{11} }\), j — столбец матрицы А.
  • Повторяем действия для матрицы I, по формуле: \(b_{1s}^1 = \frac{b_{1s} }{a_{11} }\), s — столбец матрицы I

Получим:

\(A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)

  • Будем образовывать 0 в первом столбце : \(a_{2j}^1=a_{2j}-a_{1j}^1 a_{21} \ , \dots , \ a_{nj}^1=a_{nj}-a_{1j}^1 a_{n1}\)
  • Повторяем действия для матрицы І, по формулам : \(b_{2s}^1=b_{2s}-b_{1s}^1 a_{21} \ , \dots , \ b_{ns}^1=b_{ns}-b_{1s}^1 a_{n1}\)

Получим:

\(A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ 0 & a_{22}^1 & \cdots & a_{2n}^1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2}^1 & \cdots & a_{nn}^1 \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21}^1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}^1 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)

  • продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы : \(a_{ij}^k=\frac{a_{ij}^k}{a_{ii} } \qquad a_{ij}^k=a_{ij}^{k-1}-a_{kj}^k a_{ik}^{k-1}\),

при условии, что \(k = 1 \rightarrow n,i = k + 1 \rightarrow n,j = 1 \rightarrow n\)

  • Повторяем действия для матрицы І, по формулам : \(b_{ik}^k=\frac{b_{ik}^k}{a_{ii} } \qquad b_{is}^k=b_{is}^{k-1}-b_{ks}^k a_{ik}^{k-1}\)

при условии, что \(k=1 \to n,\; i=k+1 \to n,\; s=1 \to n\) получим:

\(A=\begin{pmatrix} 1 & a_{12}^1 & \cdots & a_{1n}^1 \\ 0 & 1 & \cdots & a_{2n}^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad I=\begin{pmatrix} b_{11}^1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_{21}^2 & b_{22}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1}^n & b_{n2}^n & \cdots & b_{nn}^n \end{pmatrix}\)

Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)

Используем формулу: \(a_{ij}^{k-1}=a_{ij}^{k-1}-a_{ij}^k a_{ik}^i\), при условии, что \(k=n \to 1,\; i=1 \to k-1,\; j=1 \to n\)

Повторяем действия для матрицы І, по формуле : \(b_{is}^{k-1}=b_{is}^{k-1}-b_{is}^k a_{ik}^i\), при условии, что \(k=n \to 1,\; i=1 \to k-1,\; s=1 \to n\)

Окончательно получаем :

\(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \qquad I=A^{-1}\)

Код на C#, реализующий алгоритм Гаусса-Жордана

using System;

class Program
{
    static void Main()
    {
        double[,] matrix = new double[,]
        {
            {2, -1, 0},
            {-1, 2, -1},
            {0, -1, 2}
        };

        double[,] inverseMatrix = InverseMatrix(matrix);

        PrintMatrix(inverseMatrix);
    }

    static double[,] InverseMatrix(double[,] matrix)
    {
        int size = matrix.GetLength(0);
        double[,] augmentedMatrix = new double[size, 2 * size];

        // Create augmented matrix
        for (int i = 0; i < size; i++)
        {
            for (int j = 0; j < size; j++)
            {
                augmentedMatrix[i, j] = matrix[i, j];
                augmentedMatrix[i, j + size] = i == j ? 1 : 0;
            }
        }

        // Gauss-Jordan elimination
        for (int i = 0; i < size; i++)
        {
            double pivot = augmentedMatrix[i, i];
            for (int j = 0; j < 2 * size; j++)
            {
                augmentedMatrix[i, j] /= pivot;
            }

            for (int j = 0; j < size; j++)
            {
                if (j == i) continue;
                double factor = augmentedMatrix[j, i];
                for (int k = 0; k < 2 * size; k++)
                {
                    augmentedMatrix[j, k] -= factor * augmentedMatrix[i, k];
                }
            }
        }

        // Extract inverse matrix
        double[,] inverseMatrix = new double[size, size];
        for (int i = 0; i < size; i++)
        {
            for (int j = 0; j < size; j++)
            {
                inverseMatrix[i, j] = augmentedMatrix[i, j + size];
            }
        }

        return inverseMatrix;
    }

    static void PrintMatrix(double[,] matrix)
    {
        for (int i = 0; i < matrix.GetLength(0); i++)
        {
            for (int j = 0; j < matrix.GetLength(1); j++)
            {
                Console.Write(matrix[i, j] + " ");
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }
}

Задание:

  1. Изучить метод Гаусса-Жордана

  2. Написать приложение на языке C# для нахождения обратной матрицы для матрицы, заданной пользователем.

  3. Добавить в приложение проверку на правильность нахождения обратной матрицы. \(A^{-1}\cdot A = E\), где \(E\) – единичная матрица.

Наверх
Лаб. работа “Одномерные и двумерные массивы в C#”
Системное программирование